Секрет шестизначных чисел

Загадка для продавцов, у которых всё в порядке с логикой и смекалкой. Прислал её мне один из фанатов SalesPortal, но просил его не упоминать. Кстати, если у вас есть интересные логические загадки – буду рад их напечатать и порадовать всех продавцов страны. С вашим упоминанием, разумеется, и ссылкой на ваш сайт. Но хватит лирике – к загадке!

Представьте, что вы устраиваетесь на работу продавцом в очень интересную компанию с солидной зарплатой, классным коллективом и хорошим социальным пакетом (кстати, если вы активный и умный продавец, готовый работать в серьезной компании и продавать серьезные продукты и услуги за небольшой фикс и большой бонус – я всегда вас жду в своей компании Expert Systems), и вам в качестве тестового задания дают эту загадку. Время не ограничено, но чем быстрее вы ее решите – тем лучше. Если вам нужен калькулятор – пользуйтесь. Интернет – нет. Отключаем. Думайте сами.

Итак, условие и вопрос:

1. Возьмите любое трёхзначное число.
2. Напишите его два раза подряд (например, 197197).
3. Докажите, что любое полученное таким образом шестизначное число, всегда будет делиться без остатка на 7, 11 и даже 13.
4. Опубликуйте ответ в комменте к этому посту.

P.S. Для новичков напоминаю, что правильные ответы буду стирать и писать вместо них слово “Правильно!”. Те же, кто моих правок в своих ответах не увидел – думайте дальше. Или, если позорно сдаётесь – ищите ответ в интернете. И напоминаю, что начиная с января этого года я правильные ответы больше по почте не высылаю. :)